수학 관련/내용 정리
대수위상 - 기본군
2학기에 배운 대수위상 내용 정리. 교수님께서 강의자료에 그림까지 첨부하셔서 공부에 많은 도움이 되었다. 호모토피 [정의] 호모토피(homotopy) 위상공간 $X,Y$와 연속함수 $f,g:X\to Y$에 대해 $$H\left(x,t\right)=\begin{cases}f\left(x\right),&t=0\\g\left(x\right),&t=1\\\end{cases}$$ 인 연속함수 $H:X\times\left[0,1\right]\to Y$ 호모토피 관계: 위상공간 $X,Y$와 연속함수 $f,g:X\to Y$에 대해 호모토피가 존재 $\iff f\simeq_H g$ [정의] 호모토피류(homotopy class) 위상공간 $X,Y$ 사이의 연속함수들의 집합 $\mathcal{C}\left(X,Y\righ..
일반위상 - 연속함수
함수의 연속성 두 위상공간 $X,Y$위에서 정의된 함수 $f:X\rightarrow Y$과 모든 $Y$의 열린집합 $V$에 대해 $f^{-1}\lparen V\rparen$가 열린집합일 때, $f$를 연속(continuous)이라고 한다. $x\in X$에서 $f\lparen x\rparen$의 근방 $V$에 대해 $f\lparen U\rparen=V$인 $x$의 근방 $U$가 존재할 때, $f$를 점 $x$에서 연속이라고 한다. $X,Y$를 위상공간이라 하고, $f:X\rightarrow Y$라고 하면 다음은 동치이다. $f$는 연속 $f$가 모든 $x\in X$에서 연속 $X$의 모든 부분집합 $A$에 대해 $f\lparen\text{cl}A\rparen\subset\text{cl}f\lparen A..
일반 위상 - 위상공간
위상공간 집합 $X$에 대해 다음 조건을 만족하는 집합 $\mathcal{T}\subset 2^X$를 위상(topology)이라고 한다. $\emptyset,X\in \mathcal{T}$ $\lbrace A_i\vert i\in I\rbrace\subset\mathcal{T}$에 대해 $\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i,\bigcap_{i\in I}^m A_i\in\mathcal{T}$ 집합과 그 위상의 순서쌍 $\lparen X,\mathcal{T}\rparen$를 위상공간(topological space)이라고 한다. 열린집합, 닫힌집합 위상공간 $\lparen X,\mathcal{T}\rparen$에 대해 $U\in \mathcal{T}$를 열린집합(open set), $..